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Prim算法求最小生成树

AcWing 858. Prim算法求最小生成树​

题目​

https://www.acwing.com/problem/content/860/

思路​

最小生成树：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边 简单来讲就是：连接所有的点，且边权之和最小 算法步骤：

  1. dist[i]距离设置为无穷大 dist[1]=0
  2. for i in 0..n-1
  3. 找到不在s集合中，距离s集合最近的点t
  4. 将这个点t放入集合中
  5. 利用这个点t， 更新不在集合中的点

代码O(n^2)​

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

const int N=510,INF=0x3f3f3f3f;

int n,m;
int g[N][N];
bool st[N];//结点是否被加入到生成树中
int dist[N];//存储各个结点到生成树的距离

int prim()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) t=j;//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
        }
        if(i&&dist[t]==INF) return INF;//发现不连通，直接结束
        if(i) res+=dist[t];//res就是最小生成树的权重
        st[t]= true;
        for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);//更新生成树外的点到生成树的距离
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);
    }
    int t=prim();
    if(t==INF) cout<<"impossible";
    else cout<<t;
    return 0;
}

优化：​

和堆优化版的dijkstra一样，prim也可以用一个优先队列来维护 prime与dijkstra的区别：

  • dijkstra：把所有点到 源点 距离dis设成∞ ，每次找到dis最小的点 确定下来(加入到路径中)，并用该点距离更新所有点到源点距离 dis[i]=min(dis[i],w+a[t][i]); 即：用源点扩展，每次确定距离最近的点，直到终点！！
  • prim： : 把所有点到 集合 的距离dis设成∞ ，每次找到dis最小的点 确定下来(加入到集合中)，并用该点距离更新所有点到集合距离dis[i]=min(dis[i],a[t][i]);即：随意找一个起点，每次确定到集合最近的点，直到所有点都确定完！！

由上面的思路区别，不难看出唯一区别就是，dijkstra 更新的是到源点的距离，prim更新的是到集合的距离。

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